段論 #3 群・環の下段環
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前回までの記事で一般にモノイドの場合について下段環を構成した.今回は群や環についての理論を整理する.
群の下段環
を群, をその自由下段環とする.
証明 () の可換性は に誘導される.これは, について
となることから成り立つ.よって,任意の についても
\begin{align*} \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} &= (x_1 , \ldots, x_r) \cdot (y_1 , \ldots, y_s)\\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2 , \ldots, x_r \cdot y_s)\\ &= (y_1 \cdot x_1, y_1 \cdot x_2, \ldots, y_s \cdot x_r)\\ &= \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} \end{align*}
となるので,自由下段環 は可換環となる.よって,その任意の剰余環は可換環であるので成り立つ.
() 自身も の剰余環であるので仮定から は可換環.ここで, は積についてアーベル群をなすが, はその部分群であるので, もまたアーベル群となる.
例3.2.1 3次対称群 はアーベル群でないので,当たり前だが は可換環でない.この場合非可換環論の知識が必要なため(具体的には右イデアルと左イデアル,両側イデアルを区別しなければならないなど),一般に研究は難しいと思われる.
環の下段環
環はそもそも和についてアーベル群をなすので,自然に下段環を構成することができる.
例3.2.2 アーベル群としての の自由下段環 を考える.今,文字集合は
となっており,これに空文字 を加えた有限長系列であって,系列の文字を入れ替えたものを同値として,その同値類全体が である.ここで, のイデアル を以下のように定義する.
このとき,
\begin{align*} 0^{-1} \cdot (0,0,0,0,0) &= (0^{-1}, 0^{-1}, 0^{-1}, 0^{-1}, 0^{-1})\\ &= 0^{-1} - (0,0,0,0) \in \mathfrak{a} \end{align*}
および
\begin{align*} 0^{-1} \cdot (1,0^{-1}, 0^{-1}) &= (1^{-1}, 0,0)\\ &= 1^{-1} - (0^{-1},0^{-1}) \in \mathfrak{a} \end{align*}
となるので, において
\begin{align*} () &= (0,0,0,0,0)\\ 0 &= (0)\\ 1 &= (0,0)\\ 0^{-1} &= (0, 0, 0, 0)\\ 1^{-1} &= (0^{-1},0^{-1})\\ &= (0,0,0,0,0,0,0,0) = (0,0,0) \end{align*}
が成り立つ.よって, 以外の文字はすべて の何個かの和で書くことができるようになる.なお, や における積 は におけるアーベル群としての演算である通常の和であることに注意せよ.
Claim:
を
\begin{align*} &f( () ) = 0\\ &f( (0) ) = 1\\ &f( (0,0) ) = 2\\ &f( (0,0,0) ) = 3\\ &f( (0,0,0,0) )= 4\\ \end{align*}
とすればwell-definedな環準同型であり,かつ全単射となるので成り立つ.
よって, は の下段環である.また,今の場合 が体であることから, は極大イデアルであることもわかった.
以上です.査読よろしくおねがいします.演習の解答は次の記事で.