モノイド上の自由群の剰余群の代数構造と準加算について

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見切れている数式はスライドで表示できます．

この記事では $\mathbb{N}$ は0を含まないとし、通常の積について単位元1をもつモノイドだと考える．この記事はまずはじめに形式的な議論を述べ，次に例と考察を与える．

本論

$S$ を単位元 $e$ をもつモノイドとし，その演算を $\cdot$ とする． $S$ の自由群を $F(S)$ とし，その群としての演算を便宜上 $+$ と表す．ここで， $F(S)$ 上の同値関係を以下のように定義する．まず， $N:S \to \mathbb{N}$ をモノイド準同型， $I:F(S) \to F(S)$ を

語 $\mathbf{x}$ をなす文字 $x_i$ について， $x_i \in S$ ならば $x_i$ を $\underbrace{(e,\ldots ,e)}_{N(x_i)}$ に， $x_i \in S^{-1}$ ならば $x_i$ を $\underbrace{(e^{-1}, \ldots , e^{-1})}_{N(x_i^{-1})}$ に変換する．
$e$ と $e^{-1}$ が隣り合う部分を空語に変換する．

というステップを経て語を与える写像とする．これを用いて同値関係を

$\mathbf{x} \sim \mathbf{y} \Leftrightarrow I(\mathbf{x}) = I(\mathbf{y})$

と定義し、 $S_{-1}=F(S)/\sim$ とする．さらに， $S$ の演算を $S_{-1}$ に誘導する． $a \in S$ の逆文字 $a^{-1} \in S^{-1}$ と $b \in S$ について，

$a^{-1} \cdot b := (a \cdot b)^{-1}$

とし，同様に

$a \cdot b^{-1} := (a \cdot b)^{-1}$

とし，それぞれの逆文字については

$a^{-1} \cdot b^{-1} := a \cdot b$

と定義する．これを用いて一般の語の積を， $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r)$ ， $\mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_s)$ について

$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s)$

とし，特に空語 $()$ については

$\mathbf{x} \cdot () = () \cdot \mathbf{x} = ()$

と定義する．

命題1 $S_{-1}$ は演算 $+$ と $\cdot$ について環になる．

証明　まず，構成より $S_{-1}$ は演算 $+$ について単位元 $()$ を持つアーベル群をなす．さらに，上述の定義から演算 $\cdot$ について単位元 $e$ を持つモノイドをなす．さらに， $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in S_{-1}$ について，それぞれ $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r)$ ， $\mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_s)$ ， $\mathbf{z} = (z_1, \ldots, z_t)$ とすると

\begin{align*} (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} &= (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s) \cdot (z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t, y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t) + (y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} \end{align*}

となり，さらに

\begin{align*} \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} + \mathbf{z}) &= (x_1, \ldots, x_r) \cdot (y_1, \ldots, y_s, z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ \end{align*}

となるが，演算 $+$ の可換性から適宜文字を入れ替えて

\begin{align*} &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} \end{align*}

となり，分配法則を満たす．以上より成り立つ． $\square$

具体例

自然数から整数へ

$S = \left\{ 1, 2, \ldots \right\}$ を $1$ 以上の整数全体とすると，これは通常の掛け算について単位元 $1$ を持つモノイドをなす． $S$ 上の自由群を以下のように構成する．まず $S$ をただの文字の集合だと思い， $S^{-1}$ を逆文字全体の集合，つまり

$S^{-1} = \left\{ 1^{-1}, 2^{-1}, \ldots\right\}$

とする． $\Omega = S \cup S^{-1}$ とし， $W(\Omega)$ を文字集合 $\Omega$ の文字からなる有限長の文字列(これを語という)全体の集合とすると，

$(x_1, \ldots, x_r) + (y_1, \ldots, y_s) := (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s)$

という演算 $+$ について空語 $()$ を単位元とするモノイドをなす．語 $\mathbf{x}$ について，語に含まれる文字 $a$ と逆文字 $a^{-1}$ が連続して現れる部分を空語に置き換えたものを簡約化 $\overline{\mathbf{x}}$ とし， $W(\Omega)$ 上の同値関係を

$\mathbf{x} \equiv \mathbf{y} \Leftrightarrow \overline{\mathbf{x}} = \overline{\mathbf{y}}$

と定義し， $F(S) = W(\Omega) /\equiv$ とすると， $F(S)$ は群になり，これが自由群である．さらに， $N: S\to \mathbb{N}$ を $N(n) = n$ と定義すると，これはモノイド準同型となり，これを用いて $I: F(S)\to F(S)$ を上述のように構成する．例えば， $(2,3^{-1})$ という語については

\begin{align*} (2,3^{-1}) &\mapsto (1,1,1^{-1},1^{-1},1^{-1})\\ &\mapsto (1,1^{-1},1^{-1})\\ &\mapsto (1^{-1}) \end{align*}

となるので簡約化は $I(2,3^{-1}) = 1^{-1}$ となる．これを用いて自由群上の同値関係を

$\mathbf{x} \sim \mathbf{y} \Leftrightarrow I(\mathbf{x}) = I(\mathbf{y})$

と定義し， $S_{-1} = F(S)/\sim$ とする．ここにモノイド $S$ の演算を上述のように誘導する．このようにして下のレベルの演算を持つ環 $S_{-1}$ を得るが，なんのことはなくこれはただの整数環 $\mathbb{Z}$ である．これは空語 $()$ を通常の $0$ ，逆文字 $a^{-1}$ を通常の和の逆元 $-a$ と思えば直ちに分かる．実際， $S_{-1}$ の中では $(2,3^{-1}) \sim 1^{-1}$ であったが，これは単に $2 + (-3) = -1$ という式を形式的な元として表しているだけである．

このように，下のレベルの演算を得る際には，元の集合にはなかった単位元と逆元を添加し，和を式ではなく自由群の元として見ることが重要である．

整数から下整数へ

では，整数より下のレベルを実際に構成してみる．まず， $S=\left\{0, 1, 2, \ldots \right\}$ を $0$ 以上の整数全体の集合とすると，通常の和 $+$ について $0$ を単位元とするモノイドをなす．先ほどと同様に自由群を構成し，これを $F(S)$ をする．ここで， $N: S\to\mathbb{N}$ を $N(n) = 2^n$ とすると，

\begin{align*} &N(n+m) = 2^{n+m} = 2^n \cdot 2^m = N(n) \cdot N(m)\\ &N(0) = 2^{0} = 1 \end{align*}

となり，これはモノイド準同型になる．これを使って同様に $S_{-1}$ を構成する．この環の和をしきたりに倣って $\oplus$ とすると，例えば

\begin{align*} 1 \oplus 1 &= (1,1)\\ &\sim (0,0,0,0) \qquad (2^1 = 2)\\ &\sim 2 \qquad (2^2 = 4) \end{align*}

みたいになる．しかし，

\begin{align*} 2 \oplus 1 &=(2,1)\\ &\sim (0,0,0,0,0,0) \end{align*}

となるが，これに対応する整数は存在しない．

まとめ

以上のように，任意のモノイドについてその演算と分配法則を満たすようなの下のレベルの演算を併せ持つ環を構成した．これはもちろん準加算の発想が元となってはいるが，最もプレーンな発想からは少し遠ざかっている．これは「いくつか繰り返すと和を得るような演算」というよりは，「元々の演算と分配法則を満たすような演算によって環を構成する」ことを動機としたことによる．構成の始まりを群からにすると具体的にどのような変化があるのかを次回以降のテーマとする．

愛想モルフィズム

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モノイド上の自由群の剰余群の代数構造と準加算について

本論

具体例

自然数から整数へ

整数から下整数へ

まとめ