段論 #3.5 下段環を用いた準加算の概論

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dafuyafu.hatenablog.com

下段環の理論では，与えられた群や環についてその下のレベルの演算を持つ対象を構成する方法を導入した．巨大数論では「コンウェイのチェーン表記」等の高いレベルの演算を導入してより大きな数を作ることを目標とするが，下段環論はその真逆の発想で，演算を下に落としていくのである．次の我々の目標は下段環論の代数幾何との関連である．まずは代数多様体の座標環の下段環と幾何事象との対応を述べる．（著者注：途中単発で楕円曲線の下段環を考えるかもしれない．）

演習の解説

演習3-A $\ff_3$ は $\ff_2$ の下段環であるか？

解答下段環である．
　今， $\ff_2$ の自由下段環 $L(\ff_2)$ のイデアル $\mathfrak{b}$ を以下のように定義する．

$\mathfrak{b} := \langle (0,0,0), (1,0^{-1}, 0^{-1}) \rangle$

このとき，

\begin{align*} 0^{-1} \cdot (0,0,0) &= (0^{-1}, 0^{-1}, 0^{-1})\\ &= 0^{-1} - (0,0) \in \mathfrak{b}\\ 0^{-1} \cdot (1, 0^{-1}, 0^{-1}) &= (1^{-1}, 0,0)\\ &= 1^{-1} - (0^{-1}, 0^{-1}) \in \mathfrak{b} \end{align*}

となるので， $B = L(\ff_2) / \mathfrak{b}$ において，

\begin{align*} 1^{-1} &= (0^{-1}, 0^{-1})\\ &= (0,0,0,0) = (0) \end{align*}

が成り立つので，

\begin{align*} 0 = 1^{-1} &= (0)\\ 1 = 0^{-1} &= (0,0)\\ () &= (0,0,0) \end{align*}

という関係式が得られるため，任意の $B$ の系列は $(), (0), (0,0)$ と簡約して表せる．ここで， $g : B \to \ff_3$ を

\begin{align*} &f( () ) = 0\\ &f( (0) ) = 1\\ &f( (0,0) ) = 2 \end{align*}

とすると， $f$ はwell-definedな環準同型になり，また全単射でもある．よって $B \simeq \ff_3$ となる．

注 3-B 環(というか体) $\ff_3 = \zz /3\zz$ の演算表は以下のようになる．

\begin{equation} \begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \end{equation}

\begin{equation} \begin{array}{c|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{array} \end{equation}

積 $\cdot$ の演算表に注目すると，既約剰余類群 $(\zz/3\zz)^{\times}$ は和に関するアーベル群 $\ff_2 = \zz / 2\zz$ に同型である．

\begin{equation} \begin{array}{c|cc} \cdot_{\ff_3} & 1 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{array} \simeq \begin{array}{c|cc} +_{\ff_2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \end{equation}

つまり， $\ff_3$ の積が $\ff_2$ の和になっていると考えることができる．

\begin{equation} \begin{array}{c|cc} \mathrm{level} & \ff_2 & \ff_3 \simeq L(\ff_2) / \mathfrak{b} \\ \hline 1 & \cdot_{\ff_2} & \\ \hline 0 & +_{\ff_2} & \cdot_{\ff_3} \\ \hline -1 & & +_{\ff_3} \end{array} \end{equation}

ここで，下段環の構成から $L(\ff_2)$ および $\ff_3$ の積の部分群が $\ff_2$ であるという意味で $\ff_2 \subset \ff_3$ であるので， $\ff_3$ の和を自然と $\ff_2$ に引き戻すことができる．

\begin{equation} \begin{array}{c|ccc} \mathrm{level} & \ff_2 & & \ff_3 \\ \hline 1 & \cdot_{\ff_2} & & \\ \hline 0 & +_{\ff_2} & & \cdot_{\ff_3} \\ \hline -1 & \underline{+_{\ff_3}} & \dashleftarrow & +_{\ff_3} \end{array} \end{equation}

このようにして， $\ff_2$ の和よりもレベルの低い演算を得ることができる．しかし，図における $+_{\ff_3}$ はあくまで $\ff_3$ の演算であるので， $\ff_2$ の中では演算がはみ出してしまう．今の場合具体的には空文字 $()$ という元が増えている．

\begin{equation} \begin{array}{ccccc} (0) & +_{\ff_3} & (0,0) & = & ()\\ \in & & \in & & \not\in \\ \ff_2 & & \ff_2 & & \ff_2 \end{array} \end{equation}

つまり， $\ff_2$ を $\ff_3$ に拡大することで元の $\ff_2$ の準加算を実現することができる．これを数学的に定式化したものが下段環の理論である．

壮大な目標を書きましたが、実現できるかどうかは分かりません。まぁ、気楽に行きましょう。