ムゲンの実の数学 #2 低次における味の総数の最大値

見切れている数式はスクロールで！

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ムゲンの実の数学#2です．

今回は，前回の記事で定義した $S_n$ について，その低次の具体例，すなわち $S_1, S_2$ について考えてみたいと思います．

前回の振り返り

ムゲンの実というお菓子は赤色のシャリシャリの実，黄色のシュワシュワの実，そして青色のヒエヒエの実からなります．ムゲンの実1袋につき，3種類の実がそれぞれ15個ずつ，合計45個入っていると仮定します．このムゲンの実が $n$ 袋ある状態を $n$ ムゲンの実モデル ( $n$ -IBM ) といいます．

さて，ムゲンの実は無限個の実がある場合はそれらを重複を許して無限個組み合わせることで無限通りの味を食べることができます．では， $n$ -IBMでは何種類の味を食べることができるか？ということについて考えていました．この味の種類の最大値を $S_n$ と表します．

定理 2.1 $S_1 = 16$ .

注定理1の主張は「1袋のムゲンの実では最大16種類の味を食べることができる」ということです．無駄に難しく書いているふうに思うかもしれませんが，これは数学的正確性を失わずに記述するためには絶対に必要な手続きです．

証明(概略) まず，前回の記事で16種類の味を構成した．よって $S_1 \geq 16$ である．ここで，これ以上の味の種類を作ることができないことを示す．
ここで，前回の記事の通り，この16種類の味を構成した時点で残っている実の数は3つであり，3つの組み合わせで得られる味はすべて網羅しているのでこの構成方法ではこれ以上の味を構成できない．
よって，この構成方法を用いないで構成する必要がある．4つ実を使って得られる組み合わせの代わりに5つ以上実を使って得られる組み合わせを採用する．しかし，この方法だと余剰の実の数が少なくなり得られる味の個数も増えることがない．よって16個以上の味は作ることができない． $\square$

証明2 Pythonを用いて実際にすべての組み合わせを計算した．

# ibm.py

import itertools as it
import numpy as np

if __name__ == '__main__':
    l = ['R', 'Y', 'B']
    proj = []
    for i in range(4): # 4種類までに制限
        h = list(it.combinations_with_replacement(l, i + 1))
        for v in h:
            r = 0
            y = 0
            b = 0
            for e in v:
                if e == 'R':
                    r += 1
                elif e == 'Y':
                    y += 1
                elif e == 'B':
                    b += 1
            vec = np.array([r,y,b])
            for c in range(4):
                flag = True
                for p in proj:
                    if np.array_equal((c + 2) * p, vec):
                        flag = False
                        break
                if not flag:
                    break
            if flag:
                proj.append(vec)

    maximum = 0
    for i in range(len(proj) - 1):
        reg = it.combinations(proj, i + 1)
        for r in reg:
            s = np.array([0,0,0])
            for v in r:
                s += v
            if s[0] <= 15 and s[1] <= 15 and s[2] <= 15:
                maximum = i + 1
            else:
                pass

    print("S_1 = " + maximum)