Hartshorne Ex2.14 The Segre Embedding #1 - 愛想モルフィズム

見切れている数式はスライドで表示できます．

2.14 セグレ埋め込み

$\psi : \mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^s \to \mathbb{P}^N$

(ただし $N = rs + r + s$ )を，

$\left[ x_0 : \cdots : x_r \right] \times \left[ y_0 : \cdots : y_s \right] \to \left[ \cdots : x_i y_j : \cdots \right]$

のように辞書式順序で整列した点へ移す写像とする．ここで， $\psi$ はwell-definedであり単射である．これはセグレ埋め込みと呼ばれる．この像が $\mathbb{P}^N$ の部分多様体になることを示せ．(ヒント：省略)

久しぶりに本題に戻って抜本の演習をやりますねぇ！

特にこれは自分の学部卒業論文でも取り扱ったものなので個人的に思い入れのある演習問題です．がんばって解説します．

セグレ埋め込みとは，2つの射影空間からそれらの積への埋め込みであるような写像のひとつです．

セグレ埋め込みの構成法の動画です．
(ブログ用) pic.twitter.com/689g29hUj8
— だふやふ (@dafuyafu) 2018年4月3日

具体的には上の動画のように，行列の積のようにして射影空間の点の斉次座標を掛け合わせた点へ送る写像のことです．以下，この記事では $\mathbb{P}^N$ の点を

\begin{equation} P = \begin{array}{rcccl} \bigl[& z_{00}:&\cdots& :z_{0n}: &\ \\ &\vdots& \ddots& \vdots&\\ &: z_{m0}:& \cdots& :z_{mn} &\bigr] \end{array} \end{equation}

のように添え字を付けて表します．

まず，やることとして，

$\psi$ が well-defined であること
$\psi$ が単射であること
$\mathrm{Im} \psi$ が射影多様体をなすこと

をそれぞれ見ていきたいと思います．

$\psi$ が well-defined であること

$\psi$ は同値類(ここでは射影空間の点の斉次座標)の表示によっているので，写像として well-defined であることを示さなければなりません．

　 $P \in \mathbb{P}^m$ と $Q \in \mathbb{P}^n$ が

$P = \left[ x_0: \cdots : x_m \right] \sim \left[ \lambda x_0: \cdots : \lambda x_m \right] = P'$
$Q = \left[ y_0: \cdots : y_n \right] \sim \left[ \omega y_0: \cdots : \omega y_n \right] = Q'$

と，0でない $\lambda$ と $\omega$ を用いて表されるとき，右側の表示である $P'$ と $Q'$ を用いて $(P', Q')$ を $\psi$ で送ると，

\begin{align*} \psi (P',Q') &= \psi (\left[ \lambda x_0:\cdots: \lambda x_m \right] \times \left[ \omega y_0:\cdots: \omega y_n \right])\\ &= \left[ \lambda x_0 \cdot \omega y_0: \cdots : \lambda x_m \cdot \omega y_n \right]\\ &= \left[ (\lambda \omega) x_0 y_0 : \cdots : (\lambda \omega) x_m y_n \right]\\ &\sim \left[ x_0 y_0 : \cdots : x_m y_n \right] \qquad (\because \lambda \omega \neq 0)\\ &= \psi (\left[ x_0:\cdots:x_m \right] \times \left[ y_0:\cdots:y_n \right])\\ &= \psi (P,Q) \end{align*}

となるので，斉次座標のとり方によらず，well-defined である．

$\psi$ が単射であること

埋め込みという名の通り， $\psi$ が単射であることを示します．

　 $P \in \mathbb{P}^m$ と $Q \in \mathbb{P}^n$ が

$P = \left[ x_0: \cdots : x_m \right]$
$Q = \left[ y_0: \cdots : y_n \right]$

と表されているとき，それぞれ射影空間の点であるので， $P$ についてはある $i$ (ただし $0 \leq i \leq m$ )が存在して $x_i \neq 0$ ， $Q$ についてもある $j$ (ただし $0 \leq j \leq n$ )が存在して $y_j \neq 0$ が成り立つ．ここで，それぞれ $i = j = 0$ としても一般性を失わない．

　このとき， $P \in \mathbb{P}^m, Q \in \mathbb{P}^n$ をそれぞれ

\begin{align*} P &= \left[ x_0 : x_1 : \cdots: x_m \right]\\ &\sim \left[ 1 : x_1 / x_0 : \cdots : x_m / x_0 \right]\\ &= \left[ 1 : p_1 : \cdots : p_m \right]\\ \\ Q &= \left[ y_0 : y_1 : \cdots: y_n \right]\\ &\sim \left[ 1 : y_1 / y_0 : \cdots : y_n / y_0 \right]\\ &= \left[ 1 : q_1 : \cdots : q_n \right] \end{align*}

と表す．この点 $(P, Q)$ を $\psi$ で送ると，

\begin{equation*} \psi (P,Q) = \begin{array}{rccccl} \bigl[& 1:& q_1 :& \cdots & q_n: &\\ &p_1:& p_1 q_1 :& \cdots & \vdots& \\ &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \\ &p_m:& \cdots& &: p_m q_n &\bigr] \end{array} \qquad(1) \end{equation*}

となる．ここで，同様に $P' \in \mathbb{P}^m, Q' \in \mathbb{P}^n$ を

$P' = \left[ x'_0 : \cdots : x'_m \right]$
$Q' = \left[ y'_0 : \cdots : y'_n \right]$

とする．ここで， $x'_0 = 0$ であるとき $(P, Q) \neq (P' , Q')$ となるが，この点を $\psi$ で送ると，

\begin{equation*} \psi (P',Q') = \begin{array}{rccccl} \bigl[& 0:& 0 :& \cdots & 0: &\\ & x_1 y_0:& x_1 y_1 :& \cdots & \vdots& \\ &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \\ & x_m y_0:& \cdots& &: x_m y_n &\bigr] \end{array} \qquad (2) \end{equation*}

となり， $z_{00}$ の座標を(1)と比較すると $\psi(P,Q) \neq \psi (P',Q')$ となる． $y'_0 =0$ のときも同様である．さらに， $x'_0 \neq 0$ かつ $y'_0 \neq 0$ のとき， $(P,Q)$ と同様に

\begin{align*} P' &= \left[ x'_0 : x'_1 : \cdots: x'_m \right]\\ &\sim \left[ 1 : x'_1 / x'_0 : \cdots : x'_m / x'_0 \right]\\ &= \left[ 1 : p'_1 : \cdots : p'_m \right]\\ \\ Q' &= \left[ y'_0 : y'_1 : \cdots: y'_n \right]\\ &\sim \left[ 1 : y'_1 / y'_0 : \cdots : y'_n / y'_0 \right]\\ &= \left[ 1 : q'_1 : \cdots : q'_n \right] \end{align*}

と表す．この点 $(P', Q')$ を $\psi$ で送ると，

\begin{equation*} \psi (P',Q') = \begin{array}{rccccl} \bigl[& 1:& q'_1 :& \cdots & q'_n: &\\ &p'_1:& p'_1 q'_1 :& \cdots & \vdots& \\ &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \\ & p'_n:& \cdots& &: p'_m q'_n &\bigr] \end{array} \qquad (3) \end{equation*}

となる．ここで， $\psi(P,Q) = \psi(P',Q')$ とすると(1)と(3)において，最も上の行，最も左の列を比較すると

$p_i = p'_i,\ q_j = q'_j$

であることが分かる．¹
よって $P = P'$ ， $Q = Q'$ となり， $(P, Q) = (P', Q')$ となる．よって $\psi$ は単射となる．

準備が大変なので残りは次回に回します．

一般に射影空間の点 $P,Q \in \mathbb{P}^n$ (ただし $P = \left[ p_0 : \cdots :p_n \right], Q = \left[ q_0 : \cdots :q_n \right]$ )が点として等しいとき，ある $\lambda \neq 0$ が存在して $p_i = \lambda q_i$ となるが，今の場合それぞれの点の $z_{00}$ の座標が $1$ となり数として等しいので $\lambda = 1$ である．以上のことから単純に座標を比較している．↩