Hartshorne §1 Varieties, Lemma 4.3 - 愛想モルフィズム

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本記事における多様体は代数多様体のうちアフィン多様体，準アフィン多様体，射影多様体，準射影多様体のいずれかのことを言い，多様体がアフィンであるとは何らかのアフィン多様体と同型であることを言う．

命題

命題4.3 任意の多様体 $Y$ について，アフィン開集合を含む位相基底が存在する．

命題だけ言われてもなんのこっちゃですが，これを示します．

証明

テキストでは次のステートメントを証明します:

命題4.3改 任意の多様体 $Y$ の点 $P$ とその開近傍 $U$ について，あるアフィン開集合 $V$ が存在して $P \in V \subseteq U$ を満たす．

これは， $U$ を固定して $U$ の任意の点 $P \in U$ に対してそのような開集合 $V$ が存在すると， $U$ の中で $P$ を動かしてもそれに応じて $U$ の中に開集合が取れます．このようにして得られる開集合たちは $U$ を覆い尽くすので， $U$ を生成していると言えます．これが任意の開集合についても言える(任意の開集合がアフィン開集合で覆える)ので，元の命題が示されたと言えます．

ということで改付きの命題を示すわけですが，加えてこの命題にさらなる単純化を与えます．

まずはじめに，命題の中で $P$ の開近傍 $U$ を取っていますが， $U$ 自体も(多様体の開集合，つまり一般的に言えば準射影多様体であるという意味で)多様体であるので，そもそも多様体全体を取って来て $U = Y$ としても良いことが言えます．

さらに，多様体は(一般的に言えば準射影多様体であるという意味で)準アフィン多様体と同型な開被覆が存在する( $\because 2.3$ )ので， $Y$ 自体も $\mathbb{A}^n$ における準アフィン多様体と同型であるとして良いことが言えます．

よって，結局以下のステートメントを証明すれば良いことがわかります:

命題4.3改二 任意の準アフィン多様体 $Y$ の点 $P$ について，あるアフィン開集合 $V$ が存在して $P \in V \subseteq Y$ を満たす．

さて， $Y$ は準アフィン多様体ということで，何らかのアフィン多様体の開集合となっているので，閉集合 $Z_1, Z_2 \subseteq \mathbb{A}^n$ について

$Y = Z_1 - Z_2$

と表せることが定義から言えます．さらに， $Y \subseteq Z_1$ であり， $\overline{Y}$ が $Y$ を含む最小の閉集合であることから $\overline{Y} \subseteq Z_1$ となるので，

$Z_1 - Z_2 \supseteq \overline{Y} - Z_2$

であることがわかりますが，一方で $Y \subseteq \overline{Y}$ であり，書き直すと $Z_1 - Z_2 \subseteq \overline{Y}$ となりますが，

\begin{align*} \overline{Y} - Z_2 &\supseteq Z_1 - Z_2 - Z_2\\ &= Z_1 - Z_2\\ &= Y \end{align*}

ということで $\overline{Y} - Z_2 \supseteq Y$ ということが言え，

$Y = Z_1 - Z_2 \supseteq \overline{Y} - Z_2 \supseteq Y$

従って

$Y = \overline{Y} - Z_2$

が成り立ちます．

ここで， $Z_2$ が $\mathbb{A}^n$ の閉集合であるので， $Z_2 = V(f_1, \ldots, f_r)$ とします．すると，

$Y = \bigcup_i (\overline{Y} - V(f_i))$

と変形できます．しかし，それぞれの $i$ について， $Y \supseteq \overline{Y} - V(f_i)$ であることから

\begin{align*} Y - V(f_i) &\supseteq \overline{Y} - V(f_i) - V(f_i)\\ &= \overline{Y} - V(f_i)\\ &\supseteq Y - V(f_i) \qquad (\because \overline{Y} \supseteq Y) \end{align*}

となります．よって

$\overline{Y} - V(f_i) = Y - V(f_i)$

となるので，

$Y = \bigcup_i (Y - V(f_i))$

と表すことができます．

ここで， $Y$ は $Y$ の中の閉集合であり，さらに $V(f_i) \subset Y$ も $Y$ の中で閉集合なので， $Y - V(f_i)$ は $Y$ の開集合となります．よって任意の点 $P \in Y$ は，あるアフィン開集合 $Y - V(f_i)$ に含まれるので，命題がなりたちます． $\square$