段論 #1 導入・簡単な例
見切れている数式はスクロールで見れます
本記事は,上の記事を受けて理論をより単純な形で一般化することを目的とし,前記事では触れられなかった他の例について考察を与えるものである.この記事には前記事の訂正や改良を含み,主要な動機については省略する.
定義
前記事では としたが, としても掛け算について を単位元に持つモノイドをなすという条件を満たすので,本記事においては後者を採用する.さらに,環は単位元を持つとする.
さて,前記事では単位元 をもつモノイド について,その自由群に同値関係を入れて環を構成したが,これは冗長だった.初めから直接環を作りに行く.まず, を単なる文字の集合とみなし,その形式的な逆文字集合を とする.これはつまり,
に対して
とする,ということである. を文字集合とし, を の文字からなる語全体の集合とすると,語 について
と演算を定義すると,空語 を単位元に持つモノイドをなす.
ここまでは前記事と同じである.次に,モノイド準同型 について,語の簡約化を
- 語 をなす文字 について, ならば を に, ならば を に変換する.
- と が隣り合う部分を空語に変換する.
とし,語 について簡約化を と表す. 上の同値関係を
と定義する.この同値関係で割ることによって を得る.
証明 示すべきことは4つある.
ここで, がモノイドであることから,明らかに2までは成り立つ.また任意の について, であるとき, とすると,
となり,逆元が存在する.さらに, より,簡約化の構成から交換法則を満たす.以上より成り立つ.
次に, に の演算を誘導する. の逆文字 と について,
とし,同様に
とし,それぞれの逆文字については
と定義する.これを用いて一般の語の積を,, について
とし,特に空語 については
と定義する.すると, について
となり,一般の についても
\begin{align*} \mathbf{x} \cdot e &= (x_1 \cdot e, \ldots, x_r \cdot e)\\ &= (x_1, \ldots, x_r)\\ &= \mathbf{x} \end{align*}
\begin{align*} e \cdot \mathbf{x} &= (e \cdot x_1, \ldots, e \cdot x_r)\\ &= (x_1, \ldots, x_r)\\ &= \mathbf{x} \end{align*}
となるので, は においても演算 の単位元になる.
証明 について,それぞれ ,, とすると
\begin{align*} (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} &= (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s) \cdot (z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t, y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t) + (y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} \end{align*}
となり,さらに
\begin{align*} \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} + \mathbf{z}) &= (x_1, \ldots, x_r) \cdot (y_1, \ldots, y_s, z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ \end{align*}
となるが,演算 の可換性から適宜文字を入れ替えて
\begin{align*} &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} \end{align*}
となり,分配法則を満たす.以上より成り立つ.
性質
証明 について, は
(ただし ,) となる. の部分については
であり, の部分については
となる.よって全体としては
となるので,簡約化すると補題の式を得る.
証明 補題1.4より任意の でない は の単位元 もしくはその形式的逆元 の和で表せる. と を定義し, を
と定義すると,これは環準同型になる.また明らかに であり,任意の について あるいは と一意に表せるので, あるいは を で引き戻して となる を得る.よって は全単射となる.
証明 () 明らか.
() の可換性は に誘導される.これは と について
であることから成り立つ.よって,任意の についても
\begin{align*} \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} &= (x_1, \ldots, x_r) \cdot (y_1, \ldots, y_s)\\ &=(x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s)\\ &=(y_1 \cdot x_1, y_2 \cdot x_1, \ldots, y_s \cdot x_r)\\ &=(y_1 \cdot x_1, y_1 \cdot x_2, \ldots, y_s \cdot x_r)\\ &= \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} \end{align*}
となり可換となる.
証明 を と定義すると, について
\begin{align*} &f(x^{-1} \cdot_S y) \\ &= f( (x \cdot_S y)^{-1} )\\ &= (f(x \cdot_S y))^{-1} \\ &= (f(x) \cdot_T f(y))^{-1}\\ &= (f(x))^{-1} \cdot_T f(y)\\ &= f( x^{-1} ) \cdot_T f(y) \end{align*}
より,
となるので,モノイド準同型となる.
証明 はモノイド準同型より,これを梯とする下段環を自然に構成できる.
以下, について と表す.
が存在する.
証明 について
と定義する.このとき, であり, について
\begin{align*} &L_N(f)(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \\ =& L_N(f) ( (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r), f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r) ) + ( f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&L_N(f)(\mathbf{x}) + L_N(f)(\mathbf{y}) \end{align*}
\begin{align*} &L_N(f)(\mathbf{x} \cdot_{L_N(S)}\mathbf{y}) \\ =& L_N(f)( (x_1 y_1, x_1 y_2, \ldots, x_r y_s) ) \\ =&( f(x_1 y_1), f(x_1 y_2), \ldots, f(x_r y_s) ) \\ =&( f(x_1) f(y_1), f(x_1) f(y_2), \ldots, f(x_r) f(y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r) ) \cdot_{L_N(T)} ( f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&L_N(f)(\mathbf{x}) \cdot_{L_N(T)} L_N(f)(\mathbf{y}) \end{align*}
となり,環準同型となる.
今回は以上です.査読お願い致します.