愛想モルフィズム

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段論 #1 導入・簡単な例

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見切れている数式はスクロールで見れます

dafuyafu.hatenablog.com

本記事は,上の記事を受けて理論をより単純な形で一般化することを目的とし,前記事では触れられなかった他の例について考察を与えるものである.この記事には前記事の訂正や改良を含み,主要な動機については省略する.

定義

前記事では  0 \not\in \mathbb{N} としたが, 0 \in \mathbb{N} としても掛け算について  1単位元に持つモノイドをなすという条件を満たすので,本記事においては後者を採用する.さらに,環は単位元を持つとする.

さて,前記事では単位元  e をもつモノイド  S = (S, \cdot, e) について,その自由群に同値関係を入れて環を構成したが,これは冗長だった.初めから直接環を作りに行く.まず, S を単なる文字の集合とみなし,その形式的な逆文字集合 S^{-1} とする.これはつまり,

 S = \left\{ e, s_1, s_2, \ldots \right\}

に対して

 S^{-1} = \left\{ e^{-1}, s_1^{-1}, s_2^{-1}, \ldots \right\}

とする,ということである. \Omega = S \cup S^{-1}文字集合とし, W(\Omega) \Omega の文字からなる語全体の集合とすると,語  \mathbf{x}, \mathbf{y} \in W(\Omega) について

 \mathbf{x} + \mathbf{y} := (\mathbf{x}, \mathbf{y})

と演算を定義すると,空語  ()単位元に持つモノイドをなす.
 ここまでは前記事と同じである.次に,モノイド準同型  N : S \to \mathbb{N} について,語の簡約化を

  1.  \mathbf{x} をなす文字  x_i について, x_i \in S ならば  x_i \underbrace{(e,\ldots ,e)}_{N(x_i)} に, x_i \in S^{-1} ならば  x_i \underbrace{(e^{-1}, \ldots , e^{-1})}_{N(x_i^{-1})} に変換する.
  2.  e e^{-1} が隣り合う部分を空語に変換する.

とし,語  \mathbf{x} \in W(\Omega) について簡約化を  I(\mathbf{x}) と表す. W(\Omega) 上の同値関係を

 \mathbf{x} \sim \mathbf{y} \Leftrightarrow I(\mathbf{x}) = I(\mathbf{y})

と定義する.この同値関係で割ることによって  S_{-1} := W(\Omega)/\sim を得る.

命題1.1  S_{-1} は演算  + について空語  ()単位元に持つアーベル群をなす.

証明 示すべきことは4つある.

  1. 結合法則を満たす
  2. 単位元を持つ
  3. 逆元を持つ
  4. 交換法則を満たす

ここで, W(\Omega) がモノイドであることから,明らかに2までは成り立つ.また任意の  \mathbf{x} \in W(\Omega) について, \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r) であるとき, \mathbf{x}^{-1} = (x_r^{-1}, \ldots, x_1^{-1}) とすると,

 \mathbf{x} + \mathbf{x}^{-1} = (x_1, \ldots, x_r) + (x_r^{-1}, \ldots, x_1^{-1}) = ()

となり,逆元が存在する.さらに, e + e^{-1} = () = e^{-1} + e より,簡約化の構成から交換法則を満たす.以上より成り立つ. \square


次に, S_{-1} S の演算を誘導する. a \in S の逆文字  a^{-1} \in S^{-1}b \in S について,

 a^{-1} \cdot b := (a \cdot b)^{-1}

とし,同様に

 a \cdot b^{-1} := (a \cdot b)^{-1}

とし,それぞれの逆文字については

 a^{-1} \cdot b^{-1} := a \cdot b

と定義する.これを用いて一般の語の積を, \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r) \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_s) について

 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s)

とし,特に空語  () については

 \mathbf{x} \cdot () = () \cdot \mathbf{x} = ()

と定義する.すると, c^{-1} \in S^{-1} について

 c^{-1} \cdot e  = (c \cdot e)^{-1} = c^{-1}
 e \cdot  c^{-1} = (e \cdot c)^{-1} = c^{-1}

となり,一般の  \mathbf{x} \in S_{-1} についても

\begin{align*} \mathbf{x} \cdot e &= (x_1 \cdot e, \ldots, x_r \cdot e)\\ &= (x_1, \ldots, x_r)\\ &= \mathbf{x} \end{align*}

\begin{align*} e \cdot \mathbf{x} &= (e \cdot x_1, \ldots, e \cdot x_r)\\ &= (x_1, \ldots, x_r)\\ &= \mathbf{x} \end{align*}

となるので, e \in S S_{-1} においても演算  \cdot単位元になる.

命題1.2  S_{-1} の演算  \cdot + は分配法則を満たす.故に, S_{-1} は環をなす.

証明  \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in S_{-1} について,それぞれ  \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r) \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_s) \mathbf{z} = (z_1, \ldots, z_t) とすると

\begin{align*} (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} &= (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s) \cdot (z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t, y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= (x_1 \cdot z_1, x_1 \cdot z_2, \ldots, x_r \cdot z_t) + (y_1 \cdot z_1, \ldots, y_s \cdot z_t)\\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} \end{align*}

となり,さらに

\begin{align*} \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} + \mathbf{z}) &= (x_1, \ldots, x_r) \cdot (y_1, \ldots, y_s, z_1, \ldots, z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ \end{align*}

となるが,演算  + の可換性から適宜文字を入れ替えて

\begin{align*} &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_1 \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_1 \cdot z_t, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= (x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s, x_1 \cdot z_1, \ldots, x_r \cdot z_t) \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} \end{align*}

となり,分配法則を満たす.以上より成り立つ. \square

定義1.3  L_N(S):= S_{-1} をモノイド  S の (  N による)下段環という.さらに,そのようなモノイド準同型  Nという.また,下段環を得る操作を下段拡大という.

性質

補題1.4 任意の 0 でない  \mathbf{x} \in L_N(S)

 \mathbf{x} \sim \underbrace{(e_x, \ldots, e_x)}_{r’}

と表せる.ただし,

 R = \sum_{x_i \in S} N(x_i) - \sum_{x_j \in S^{-1}} N(x_j^{-1})

について  r' = |R| であり, R > 0 のとき  e_x = e であり, R < 0 の時  e_x = e^{-1} となる.

証明  \mathbf{x} \in L_N(S) について, \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r)

 \mathbf{x} \sim (y_1, \ldots, y_a, z_1, \ldots, z_b)

(ただし  y_i \in S z_j \in S^{-1}) となる. y の部分については

 (y_1, \ldots, y_a) \sim \underbrace{(e,\ldots, e)}_{N(y_1) + \cdots + N(y_a)}

であり, z の部分については

 (z_1, \ldots, z_b) \sim \underbrace{(e^{-1},\ldots, e^{-1})}_{N(z_1^{-1}) + \cdots + N(z_b^{-1})}

となる.よって全体としては

 \mathbf{x} = (\underbrace{e,\ldots, e}_{N(y_1) + \cdots + N(y_a)}, \underbrace{e^{-1},\ldots, e^{-1}}_{N(z_1^{-1}) + \cdots + N(z_b^{-1})})

となるので,簡約化すると補題の式を得る. \square

定義1.5 モノイド  S について モノイド準同型  N^1 : S \to \mathbb{N} を全ての  x \in S について  N^1(x) = 1 と定義する.この時, N^1自明梯という.
命題1.6 任意のモノイド  S について  L_{N^1}(S) \simeq \mathbb{Z} である.

証明 補題1.4より任意の  0 でない  \mathbf{x} \in L_N(S) S単位元  e もしくはその形式的逆元  e^{-1} の和で表せる. \mu(e) = 1, \mu(e^{-1}) = -1 \mu を定義し, f: L_{N^1}(S) \to \mathbb{Z}

 f(\mathbf{x}) = \mu(e_{\mathbf{x}}) + \cdots + \mu(e_{\mathbf{x}})

と定義すると,これは環準同型になる.また明らかに  \mathrm{Ker}\, f = 0 であり,任意の  n \in \mathbb{Z} について  n = 1+\cdots + 1 あるいは  n = (-1) + \cdots + (-1) と一意に表せるので, 1 あるいは  -1 \mu で引き戻して  f(\mathbf{x}) = n となる  \mathbf{x} \in L_N(S) を得る.よって  f 全単射となる. \square

命題1.7 モノイド  S が可換であることと,任意の梯  N について下段環  L_N(S) が可換であることは同値である.

証明 ( \Leftarrow) 明らか.
( \Rightarrow)  S の可換性は  S \cup S^{-1} に誘導される.これは  x^{-1} \in S^{-1} y \in S について

 x^{-1} \cdot y = (x \cdot y)^{-1} = (y \cdot x)^{-1} = y \cdot x^{-1}

であることから成り立つ.よって,任意の  \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L_N(S) についても

\begin{align*} \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} &= (x_1, \ldots, x_r) \cdot (y_1, \ldots, y_s)\\ &=(x_1 \cdot y_1, x_1 \cdot y_2, \ldots, x_r \cdot y_s)\\ &=(y_1 \cdot x_1, y_2 \cdot x_1, \ldots, y_s \cdot x_r)\\ &=(y_1 \cdot x_1, y_1 \cdot x_2, \ldots, y_s \cdot x_r)\\ &= \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} \end{align*}

となり可換となる. \square

補題1.8 モノイド準同型  f: S \to T は自然に  f: S \cup S^{-1} \to T \cup T^{-1} に拡張される.

証明  x^{-1} \in S^{-1} f(x^{-1}) := (f(x))^{-1} と定義すると, y \in S, y^{-1} \in S^{-1} について

\begin{align*} &f(x^{-1} \cdot_S y) \\ &= f( (x \cdot_S y)^{-1} )\\ &= (f(x \cdot_S y))^{-1} \\ &= (f(x) \cdot_T f(y))^{-1}\\ &= (f(x))^{-1} \cdot_T f(y)\\ &= f( x^{-1} ) \cdot_T f(y) \end{align*}

より,

  1.  f(e_S) = e_T
  2.  f(x \cdot_S y) = f(x) \cdot_T f(y)

となるので,モノイド準同型となる. \square

補題1.9 モノイド準同型  f: S\to T T 上の梯  N: T\to \mathbb{N} について  S の下段環  L_{N \circ f} (S) が存在する.

証明  N\circ f : S \to \mathbb{N} はモノイド準同型より,これを梯とする下段環を自然に構成できる. \square

以下, f: S \to T について  L_N(S) := L_{N \circ f} (S) と表す.

命題1.10 モノイド準同型  f: S \to T T 上の梯  N: T\to \mathbb{N} について環準同型

 L_N(f): L_N(S) \to L_N(T)

が存在する.

証明  \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_r) \in L_N(S) について

 L_N(f)(\mathbf{x}) = (f(x_1), \ldots, f(x_r))

と定義する.このとき, L_N(f)(e_S) = f(e_S) = e_T であり, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L_N(S) について

\begin{align*} &L_N(f)(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \\ =& L_N(f) ( (x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r), f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r) ) + ( f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&L_N(f)(\mathbf{x}) + L_N(f)(\mathbf{y}) \end{align*}

\begin{align*} &L_N(f)(\mathbf{x} \cdot_{L_N(S)}\mathbf{y}) \\ =& L_N(f)( (x_1 y_1, x_1 y_2, \ldots, x_r y_s) ) \\ =&( f(x_1 y_1), f(x_1 y_2), \ldots, f(x_r y_s) ) \\ =&( f(x_1) f(y_1), f(x_1) f(y_2), \ldots, f(x_r) f(y_s) ) \\ =&( f(x_1), \ldots, f(x_r) ) \cdot_{L_N(T)} ( f(y_1), \ldots, f(y_s) ) \\ =&L_N(f)(\mathbf{x}) \cdot_{L_N(T)} L_N(f)(\mathbf{y}) \end{align*}

となり,環準同型となる. \square


今回は以上です.査読お願い致します.